【導讀】在zai封feng裝zhuang開kai發fa中zhong，如ru何he正zheng確que使shi用yong數shu據ju表biao的de熱re特te性xing參can數shu以yi做zuo出chu設she計ji決jue策ce經jing常chang存cun在zai一yi定ding的de誤wu區qu。之zhi前qian我wo們men討tao論lun了le穩wen態tai數shu據ju和he瞬shun態tai數shu據ju的de解jie讀du與yu多duo輸shu入ru瞬shun態tai模mo型xing，今jin天tian我wo們men將jiang繼ji續xu分fen析xi各ge種zhong模mo型xing下xia的de瞬shun態tai響xiang應ying。

多結器件和瞬態響應

shangyibufenzhongtidaoleduoshurushuntaimoxing。zhengrurexitongdewentaimiaoshuyiyang
，yekeyigoujianduojieqijiandeshuntaimiaoshu。ruguozunxunjuzhenfangfa，weiyiqubieshijuzhendemeigeyuansudoushishijiandehanshu。duiyuqijianzhongdemeigereyuan
，douhuiyouyitiao“自發熱”瞬態響應曲線；對於係統中的每個其他關注點，都會存在一條“相互作用”瞬態響應曲線。

zaitongyangdexianzhixingjiashedeyueshuxia，xianxingdiejiahehuyiyuanlirengranshiyong。yejiushishuo，xitongzhongrenheyidiandeshibianxiangyingdoukeyibeishiweiqiduimeigedulireyuandexiangyingdexianxingdiejia，jiuhaoxiangmeigereyuandoushidandugongdiande
，bingqieduliyuqitareyuan。ciwai，huyidinglidebutaizhiguandezhenshixingshiyongyushiyu：也就是，網絡中點“A”處的（恒定）熱量輸入在點“B”處引起的瞬態響應，與點“B”處施加的相同量熱輸入在點“A”處引起的瞬態響應完全相同。因此，在矩陣描述中

，關於主對角線的對稱性仍將存在。互易定理的最大影響也許體現在實驗上：實際上
，隻需要測量所有可能相互作用熱瞬態響應的一半就行。

電路仿真器

描述 Cauer 模型的數學響應所需的代數非常麻煩，若沒有電路仿真器
，這種模型幾乎沒有用處。因此，如果隻有 Cauer 模型可用的話
，那麼電路仿真器是必不可少的。當然
，如果有電路仿真器，電路就是電路
，因此很明顯，Cauer 階梯和 Foster 階梯可以同樣容易地進行分析。事實上
，對於單輸入網絡，整體方法並無區別，隻是網絡連接和元素值等細節有區別。

對於多輸入網絡，Cauer 網絡非常簡單（參見圖 9）。回想一下


，Cauer wangluoshizaijuyouwuliyiyidemouxieqiantixiadaochude
，gezhongkenengdereyuanzhijiandexianghuzuoyonghuibeigoujiandaowangluobenshendetuopujiegouzhong。duiyumeigereyuandereliangshuru
，jiangyoudianzuhedianrong“自動”提供正確的相互作用響應；互易和疊加是該方法的必然結果。隻需將接地電容 Cauer 模型以及原理圖中明示的所有節點和互連輸入仿真器，任務就完成了。

圖 9. 在電路仿真器中實現多輸入 Cauer 網絡

多源 Foster 模型在電路仿真器中的實現更加複雜
，具體如何完成將取決於可用仿真器的特性。Foster 模型不過是瞬態響應曲線的數學擬合示意圖，因此特定“自發熱”Foster 階梯中的電阻和電容不會與任何相互作用網絡中的電阻和電容相關
；即使我們可能知道兩個熱源之間有許多潛在的共同熱路徑

，這兩個熱源的自發熱 Foster 階梯元件之間也不會有任何相關性。此外，根據 Foster 階梯的推導方式
，甚至模型中各種曲線的時間常數也可能不一致！同樣，根據 Foster 階梯的推導方式，甚至可能存在“負”幅度。顯然
，如果 Foster biaoshizhongchuxianfufudu，dianlufangzhenqibixuyunxufudianzu。huozhe
，fangzhenqibixutigongyizhongbianchengfangfa
，yicongyigejiediandexiangyingzhongjianqulingyigejiediandexiangying
，congercongzhengzidianlugouzaofugongxian。leisidi

，weilezaidianlufangzhenqizhongshixianduoshuru Foster 模型
，必須小心地故意創建“求和”節(jie)點(dian)
，以(yi)在(zai)整(zheng)體(ti)模(mo)型(xing)的(de)各(ge)個(ge)原(yuan)本(ben)獨(du)立(li)的(de)自(zi)發(fa)熱(re)和(he)相(xiang)互(hu)作(zuo)用(yong)加(jia)熱(re)部(bu)分(fen)之(zhi)間(jian)實(shi)現(xian)線(xian)性(xing)疊(die)加(jia)原(yuan)理(li)。如(ru)果(guo)電(dian)路(lu)仿(fang)真(zhen)工(gong)具(ju)不(bu)能(neng)提(ti)供(gong)足(zu)夠(gou)的(de)功(gong)能(neng)來(lai)完(wan)成(cheng)這(zhe)些(xie)任(ren)務(wu)，基(ji)於(yu)電(dian)子(zi)表(biao)格(ge)的(de)實(shi)現(xian)方(fang)案(an)將(jiang)是(shi)最(zui)佳(jia)的(de)替(ti)代(dai)選(xuan)擇(ze)。圖(tu) 10 顯示了可能的步驟。

圖 10. 在電路仿真器中實現多輸入 Foster 網絡

電子表格模型

如前所述
，Cauer 模型基本上需要一個電路仿真器，甚至單輸入模型也需要。然而，對於 Foster 階梯，電子表格工具可以方便地實現單輸入和多輸入模型。這因為 Foster 模型在數學上非常簡單
，電子表格可以毫不費力地引入疊加。例如，考慮一下用 Microsoft Excel 編寫單輸入 Foster 階梯的恒定功率瞬態響應的簡便性。假設將如下含義賦予電子表格中的某些單元格：

單元格 A1 是功率水平

單元格 B1:B10 是幅度

單元格 C1:C10 是時間常數（其中 C1 是 B1 幅度對應的時間常數，以此類推）

單元格 D1 是恒定功率步進開始後的時間

那麼計算時間 D1 時的溫升的 Excel 公式為：

雖然沒有必要，但也可以注意到，通過使用 Excel demingchenggongnenghemingzhidishiyongjueduiyinyongyuxiangduiyinyongbiaoshifa，womenkeyishigaigongshigengrongyijiyi，bingqieyiyufuzhidaobutongweizhi，yibianjisuanxuduobutongshijiandejieguo。xiugaiqianmiandelizi
；用 Foster 型幅度和 tau 表示的單脈衝發熱曲線的數學表達式為：

（公式23）

定義名稱

功率                         $A$1

幅度                         $B$1:$B$10

tau                            $C$1:$C$10

時間                         D1

現在我們可以使用更具可讀性的公式：

例如，如果該公式被輸入單元格 E1，則可以將其複製到單元格 E2 至 E100，從而產生單元格 D2 至 D100 中每個時間的時間響應。還可以利用 Excel 的表格功能，從單個公式創建一個包含許多值的表格 4。

由(you)於(yu)引(yin)入(ru)了(le)時(shi)變(bian)功(gong)率(lv)輸(shu)入(ru)，並(bing)且(qie)引(yin)入(ru)了(le)多(duo)個(ge)熱(re)源(yuan)，情(qing)況(kuang)顯(xian)然(ran)變(bian)得(de)更(geng)加(jia)複(fu)雜(za)
，但(dan)對(dui)於(yu)數(shu)量(liang)相(xiang)對(dui)有(you)限(xian)的(de)輸(shu)入(ru)和(he)時(shi)間(jian)步(bu)進(jin)，這(zhe)仍(reng)然(ran)是(shi)可(ke)管(guan)理(li)的(de)。方(fang)法(fa)已(yi)在(zai)前(qian)麵(mian)說(shuo)明(ming)（圖 3 給出了示例），但有以下調整：(1) 任何關注點處的溫度是都是全部熱源在該點引起的響應的疊加
；(2) 每當任何熱源的功率輸入改變時，必須創建一個新的時間“步進”，哪怕在該時刻所討論的點的功率沒有變化。

RC 模型和短時瞬態響應

對於那些不熟悉 Excel 中“數組”公式的人來說，前麵的示例用緊湊的表示法完成了一些非常強大的運算。首先，數組語法本身的使用告訴 Excel 依次對範圍中的每個單元格執行相同的計算
；由於在所識別的兩個數組中每一個數組有 10 個單元格，因此產生 10 個並行計算結果。這意味著代表 10 個幅度和時間常數的 10 個不同項是一起計算。其次，公式周圍的大括號 {} 表示公式實際上是用 Ctrl-Shift-Enter 按鍵輸入電子表格的
，而不是普通的 Enter 按鍵。這告訴 Excel
，我們希望它返回所有可用的數組結果，無論分配給公式的單元格有多少。然而，這裏不需要單獨查看所有 10 個結果，但是我們仍然希望訪問所有結果，即使隻有一個單元格是公式結果的目標。因此，最後我們使用 SUM 函數來告訴 Excel 將這 10 個單獨的結果相加，而不是隻報告我們為公式位置選擇的單個單元格中的第一個結果。

可以在數學上證明，當時間尺度短於其最快時間常數時
，RC 模型的瞬態響應將變成與時間成比例。如果 (1) 關注的時間尺度略大於最快時間常數
，或者 (2) 已(yi)知(zhi)隨(sui)時(shi)間(jian)的(de)線(xian)性(xing)響(xiang)應(ying)對(dui)於(yu)所(suo)考(kao)慮(lv)的(de)係(xi)統(tong)是(shi)合(he)適(shi)的(de)，這(zhe)將(jiang)不(bu)是(shi)問(wen)題(ti)。然(ran)而(er)，正(zheng)如(ru)隨(sui)後(hou)將(jiang)討(tao)論(lun)的(de)，對(dui)於(yu)許(xu)多(duo)半(ban)導(dao)體(ti)器(qi)件(jian)，存(cun)在(zai)一(yi)個(ge)時(shi)間(jian)範(fan)圍(wei)
，在(zai)該(gai)範(fan)圍(wei)內(nei)“表麵發熱”的(de)概(gai)念(nian)非(fei)常(chang)接(jie)近(jin)真(zhen)實(shi)的(de)熱(re)物(wu)理(li)。在(zai)表(biao)麵(mian)發(fa)熱(re)中(zhong)
，器(qi)件(jian)瞬(shun)態(tai)響(xiang)應(ying)與(yu)時(shi)間(jian)的(de)平(ping)方(fang)根(gen)成(cheng)正(zheng)比(bi)
，而(er)不(bu)是(shi)與(yu)時(shi)間(jian)呈(cheng)線(xian)性(xing)關(guan)係(xi)。現(xian)在(zai)，一(yi)個(ge)正(zheng)確(que)構(gou)建(jian)的(de) RC 模型能夠以極高的精度遵循這種平方根行為
，但僅針對大於模型最短時間常數的時間尺度。因此，隻要使用 RC 模型，就必須考慮最短時間常數是否足夠快以滿足分析的需要。對於 Foster 階梯，最快時間常數是確切知道的。對於 Cauer 階梯，可以類似方式獲得對最快時間常數的良好估計，即最接近結的 RC 對的乘積。在任何情況下，如果最短合法時間常數不小於目標最短時間尺度，尤其是在微秒到毫秒的時間尺度上，那麼在解釋 RC moxingjieguoshiyinggewaixiaoxin。dangpingfanggenmoxingheshishi，ruguoshiyongxianxingmoxing，zeyougaimoxingyucedewendubianhuahuifashengdetaiman，zhekenengdaozhiyanzhongdiguzuigaojiewen。

考慮到這一點，下表列出了相同 D2pak 器件在兩個不同熱測試板上的 RC 模型。對於每個測試板
，下表同時給出了 Cauer 網絡和 Foster 網絡。應該強調的是，這些 Foster 網絡實際上是相應 Cauer 網絡的精確數學等價物。通過下表可以明白前麵討論中涉及的許多概念。

表 1. RC 網絡（“R”值單位為°C/W；“C”值單位為 J/C
；“tau”單位為秒）

注意：粗體元素代表網絡中與封裝最密切相關的部分
；其餘元素代表環境。按時間常數的升序列出的 Foster 梯級提供了一個粗略但不完美的等價模型，因為快速響應梯級必然會對曲線的短時間（因此封裝）部分產生最顯著的貢獻。然而，正如前麵所強調的，Foster 梯級內節點的確切位置沒有直接的物理意義

，與 Cauer 電阻的任何表麵相關性純屬巧合。

第一
，這些網絡的最快時間常數是 2.98E-7 s（在 Foster Tau 列中精確給出）。此值的近似值是 Cauer 網絡中最靠近結的 RC 乘積
，即 C_C1 乘以 R_R1，結果為 3.66E-7 s。第二，為方便起見，Foster 階梯的梯級按時間常數的升序列出，但很明顯，其 R 與 Cauer 網絡的“相應”梯級的 R 沒mei有you很hen好hao的de相xiang關guan性xing。第di三san，從cong階jie梯ti的de短duan時shi間jian末mo端duan開kai始shi，兩liang個ge測ce試shi板ban的de模mo型xing相xiang同tong。也ye就jiu是shi說shuo，對dui於yu單dan脈mai衝chong發fa熱re響xiang應ying

，一yi開kai始shi隻zhi有you封feng裝zhuang重zhong要yao，經jing過guo一yi段duan時shi間jian後hou，熱re量liang才cai開kai始shi從cong封feng裝zhuang傳chuan入ru測ce試shi板ban，環huan境jing才cai會hui影ying響xiang響xiang應ying。

圖 11. 基本方波

使用 Foster RC 模型的周期波形

上麵已經討論了方波占空比曲線，它們通常由前麵的簡單公式 22 得出。然而
，給定單脈衝瞬態曲線的 RC 模型（特別是幅度/時間常數 Foster 表達式），可以推導出無限列等方脈衝的精確閉合形式解。我們將簡單給出其中的幾個解，並說明如何應用它們（參見 AND8219/D）。給定 n 級 RC 模型的單脈衝發熱曲線公式，如公式 23 所示，我們得到以下結果：

占空比 d、開啟時間 a 的簡單方波列的波峰        （公式24）

簡單周期方波列的波穀        （公式25）

注意，波形的開啟時間、周期和占空比通過等式 a = p·d 相聯係。當將開啟時間繪製在 x 軸上，占空比用作曲線參數時，公式 24 產生之前在圖 5 中看到的占空比曲線族
，其基於擬合原始 R(t) 單脈衝發熱曲線的 Foster RC 電阻模型。事實上，如果 RC 模型擬合良好，則從等式 24 導出的占空比曲線將比從更近似的公式 22 導出的曲線更精確（可能的例外是
，如果占空比值非常小，並且開啟時間小於最小 RC 時間常數，我們可能麵臨與前麵討論的時間平方根相關的相同限製）。

當重複單個脈衝時（圖 11），很明顯，波峰出現在“開啟”時間的末端，波穀出現在“關閉”時間的末端（即每個“開啟”時間的開始處）。ciwai，dangjinzhongfudangefangmaichongshi，ruguozhiguanxinbofenghebogu，zemaichongzaizhouqineideweizhibingbuzhongyao。shishishang，weifangbianqijian
，qianmiandezhexiegongshishizaijiashemeigemaichongde“開啟”時間從每個周期的開端開始的情況下推導出來的。

然而，如果我們對這個問題稍作拓展
，並允許單個方脈衝位於周期內的任意點
，那麼可以推導出一些更強大的公式。對於以下公式，圖 12 定義了周期長度 p 內廣義方脈衝的參數。所有時間都是相對於一個周期的開始。

圖 12. 廣義方波

經過無限次相同周期後，以下三個公式描述了所示範圍對應的溫度響應形狀：

良好（可計算）僅適用於 0 ≤ t < b     （公式26）

良好（可計算）僅適用於 b ≤ t < a     （公式27）

注：如果 t = 0 且 b = 0，就得到公式 25

對 0 ≤ t ≤ p 良好（可計算）僅適用於 t > a   （公式28）

注：如果 t = a 且 b = 0，就得到公式 24

對於這些公式，“可計算性”限xian製zhi是shi一yi個ge實shi際ji問wen題ti
，當dang正zheng自zi變bian量liang出chu現xian在zai各ge種zhong分fen子zi的de指zhi數shu項xiang中zhong時shi就jiu會hui出chu現xian。還hai要yao注zhu意yi，這zhe些xie公gong式shi描miao述shu了le響xiang應ying曲qu線xian，但dan尚shang未wei考kao慮lv所suo施shi加jia脈mai衝chong的de功gong率lv水shui平ping。我wo們men將jiang關guan於yu脈mai衝chong功gong率lv的de考kao慮lv推tui遲chi到dao下xia麵mian的de公gong式shi中zhong，它ta現xian在zai表biao示shi了le以yi相xiang同tong頻pin率lv出chu現xian的de任ren意yi數shu量liang方fang脈mai衝chong的de完wan全quan一yi般ban化hua疊die加jia，所suo有you方fang脈mai衝chong都dou位wei於yu時shi間jian段duan p 的相同周期內：

（公式29）

現在
，假設我們將周期分解為一係列方邊脈衝——此過程已在前麵的非周期波形示例中說明，那麼公式 29 允許我們預測任何複雜周期性功率的“穩態”瞬態行為。“穩態”瞬態響應指的是在無限多次相同周期發生後，一個典型周期的溫度響應曲線的形狀。現在必須強調一點：在不知道曲線細節的情況下，無限重複單脈衝的“峰值”和“穀值”溫度是可以預測的（即公式 24、25）
，但這對於一般的周期波形是不可能的，即使該波形是幾個方形子脈衝的相對簡單的組合也不行。考慮以下示例，將圖 13 的周期性功率輸入應用於表 4 給出的 RC 模型。

表 2. 3 脈衝示例的 RC 模型

圖 13. 3-脈衝周期性輸入

三個獨立方脈衝構成重複模式，將公式 26、27 和 28 應用於各脈衝的相應部分，並應用公式 29 來計算其疊加效應
，我們得到以下溫度響應：

圖 14. 3-脈衝周期示例穩態瞬態響應

讓rang這zhe個ge例li子zi特te別bie有you意yi思si的de是shi，峰feng值zhi溫wen度du出chu現xian在zai第di二er脈mai衝chong的de末mo端duan
，該gai脈mai衝chong的de功gong率lv較jiao低di，甚shen至zhi在zai它ta與yu該gai周zhou期qi中zhong緊jin接jie在zai它ta之zhi前qian的de較jiao高gao功gong率lv脈mai衝chong之zhi間jian有you一yi個ge零ling功gong率lv的de小xiao間jian隙xi。由you於yu知zhi道dao單dan脈mai衝chong響xiang應ying與yu功gong率lv成cheng正zheng比bi
，並bing且qie峰feng值zhi溫wen度du總zong是shi出chu現xian在zai方fang脈mai衝chong的de末mo尾wei
，人ren們men可ke能neng很hen容rong易yi忽hu略lve這zhe裏li展zhan示shi的de可ke能neng性xing。換huan句ju話hua說shuo，對dui於yu廣guang義yi周zhou期qi波bo形xing，即ji使shi它ta僅jin由you少shao量liang方fang形xing子zi分fen量liang構gou成cheng
，人ren們men也ye能neng很hen好hao地di計ji算suan整zheng個ge周zhou期qi範fan圍wei內nei的de響xiang應ying，而er不bu僅jin僅jin是shi一yi些xie“明顯”點的響應。

表麵發熱、時間平方根和短時瞬態響應

在大多數熱瞬態測試中
，實驗數據最早可在 1E-5 s（10 微秒）時獲取。但在大多數情況下，由於電氣開關瞬變，測試器件的數據獲取時間是不一致的
，最晚可達 1E-3 s。即使測量一致性出現在更早時間，但在 1E-4 s 之前的時間
，結果也很少可靠。事實上，與預期理論行為相對應的測量信號通常要到 3E-4 s 和 1E-3 s 之間才會出現。導致這種相關性的因素主要有兩個：器件中的電瞬態效應和芯片幾何效應。

gengjutieryan，xinpianhouduheshijiyouxiaoshouremianjihuiyingxianglilunxingwei。duiyuduanshireshuntaixingwei
，zuijiandandechangyonglilunshibiaomianfaremoxing。tajiashehengdinggonglv、一維熱流
，產生的結果是表麵溫升與發熱時間的平方根成比例。

正因如此
，它常被稱為“sqrt(t)”發熱。sqrt(t) 發熱的一個重要方麵是
，在對數-對數圖上（參見圖 2），這種發熱“曲線”是一條直線
，時間每增加 100 倍，溫度（或熱阻）上升 10 倍（sqrt(t) 正是由此而來）。因此，在對數-對數圖上，它顯示為 1:2 的斜率。這條理論直線的垂直位置由受熱麵積、芯片的材料特性以及與芯片受熱表麵鄰接的材料決定。同樣根據 sqrt(t) 理論
，芯片越薄

，熱量越快到達矽的背麵
，然後便不再遵循 sqrt(t) 模型；因此



，一半厚度的芯片將在四分之一的時間內結束其 sqrt(t) 行為。通常，我們認為對於 15 mil（380 微米）厚的芯片
，理論行為應該持續到大約 1E-3 s，但是當厚度小到 10 mil（250 微米）時，理論行為將僅持續 4E-4 s；對於 7 mil（180 微米）厚的芯片，sqrt(t) 隻能持續 2E-4 s。芯片厚度還與瞬態行為的另一“極端特性”直接相關，即達到局部穩態需要多長時間。在所有其他條件相同的情況下，15 mil 芯片達到局部穩態所需時間應該不超過 2.5E-3 s
，7 mil 芯片所需時間應該不超過 5E-4 s。

另一方麵，集總參數 RC 模型由於描述其行為的方程的指數性質，在接近最短時間時總是變成與時間呈線性關係。因此，如果時間小於最短時間常數，RC 模型必定無法近似模擬 sqrt(t) 行為。正如前麵所討論的
，如果已知 sqrt(t) 行為是實際行為的合理近似，但 RC 時間常數不是以低於該範圍的值開始，那麼應將 sqrt(t) 模型直接用於短脈衝溫度估計，否則將導致溫度變化被嚴重低估。

下麵的表格提供了對一維表麵發熱估計有用的定義和公式，以及半導體封裝方麵的一些典型材料特性值。

表 3. 一維表麵發熱公式和定義

其中：

表 4. 短時熱響應的材料特性

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