濾(lv)波(bo)是(shi)一(yi)種(zhong)我(wo)們(men)往(wang)往(wang)視(shi)為(wei)當(dang)然(ran)的(de)常(chang)見(jian)過(guo)程(cheng)。我(wo)們(men)在(zai)打(da)電(dian)話(hua)時(shi)，接(jie)收(shou)器(qi)濾(lv)除(chu)其(qi)它(ta)所(suo)有(you)信(xin)道(dao)，使(shi)我(wo)們(men)僅(jin)僅(jin)接(jie)收(shou)到(dao)特(te)定(ding)的(de)信(xin)道(dao)。當(dang)我(wo)們(men)調(tiao)節(jie)立(li)體(ti)聲(sheng)係(xi)統(tong)的(de)均(jun)衡(heng)器(qi)時(shi)，利(li)用(yong)帶(dai)通(tong)濾(lv)波(bo)器(qi)選(xuan)擇(ze)性(xing)增(zeng)大(da)或(huo)降(jiang)低(di)特(te)定(ding)頻(pin)帶(dai)的(de)音(yin)頻(pin)信(xin)號(hao)。

濾波器在幾乎所有數據采樣係統中扮演著重要角色。大多數模/數轉換器(ADC)都安裝有濾波器，濾除超出ADC範圍的頻率成分。有些ADC在其結構本身上就具有濾波功能。

我們接下來討論數據采樣係統
、濾波要求以及與混疊的關係。

背景

shujucaiyangxitongnenggougaojingduchulidezuidapinlvchengfenchengweiqinaikuisitejixian。caiyanglvbixudayuhuodengyushuruxinhaozuigaopinlvdeliangbei。ruguoweifangaiguize，zaiyouyongpindaineijiuhuichuxianduoyuhuoyouhaidexinhao，chengzhiwei“混疊”。

例如

，為了數字化1kHz信號
，要求最低采樣率為2kHz。在實際應用中
，采樣率通常較高，以提供一定的裕量，降低濾波要求。

為幫助理解數據采樣係統和混疊，我們以傳統的電影攝影為例。

在zai西xi部bu老lao片pian中zhong，當dang馬ma車che加jia速su時shi，車che輪lun正zheng常chang加jia速su轉zhuan動dong，然ran後hou看kan起qi來lai車che輪lun速su度du卻que變bian慢man了le，再zai然ran後hou似si乎hu停ting止zhi了le。當dang馬ma車che進jin一yi步bu加jia速su時shi，車che輪lun看kan起qi來lai像xiang在zai倒dao轉zhuan。實shi際ji上shang，我wo們men知zhi道dao馬ma車che沒mei有you倒dao走zou，因yin為wei其qi它ta動dong作zuo都dou一yi切qie正zheng常chang。什shen麼me原yuan因yin造zao成cheng了le這zhe種zhong現xian象xiang
？答da案an就jiu是shi：幀速率不夠高
，不足以準確捕獲車輪的轉動。

為幫助理解
，假設在馬車車輪上貼一個看得到的標記，然後車輪轉動。然後我們按時間拍攝照片(或采樣)。由於電影攝影機通過每秒捕獲一定數量的照片來捕獲動作，所以本質上是數據采樣係統。就像膠片采用車輪的離散圖像一樣
，ADC捕獲的是運動電信號的一係列快照。

當馬車首次加速時
，采樣率(電影攝影機的幀速率)yuanyuangaoyuchelundezhuansu
，suoyimanzunaikuisitetiaojian。shexiangjidecaiyanglvgaoyuchelunzhuansudeliangbei，suoyinenggouzhunquemiaoshuchelundeyundong，womenkandaochelunjiasudeyangzi(圖1a和1b)。

在奈奎斯特極限下，我們在180度範圍內看到兩個點(圖1c)。人眼一般很難明確分辨這兩個點的時間，這兩個點同時出現
，車輪表現為停止。在這種車輪轉速下，轉動速率是已知的(根據采樣率)
，但搞不清楚轉動方向。當馬車繼續加速時，不再滿足奈奎斯特條件，看到車輪的方式可能有兩種：我們“看到”車輪在正轉
，其他人則看到是倒轉(圖1d)。

馬車車輪的例子


這兩種方向都可以看做是正確的方向，取決於您如何“看”車che輪lun
，但dan我wo們men知zhi道dao已yi經jing發fa生sheng了le信xin號hao混hun疊die。也ye就jiu是shi說shuo，係xi統tong中zhong出chu現xian了le有you害hai的de頻pin率lv成cheng分fen
，我wo們men不bu能neng將jiang其qi與yu真zhen實shi值zhi區qu分fen開kai，同tong時shi出chu現xian了le正zheng轉zhuan和he倒dao轉zhuan的de運yun動dong信xin息xi。我wo們men一yi般ban看kan到dao倒dao轉zhuan成cheng分fen或huo正zheng轉zhuan成cheng分fen的de“約數”或“鏡像”。由於是眼/腦相結合的方式處理數據,因(yin)此(ci)我(wo)們(men)並(bing)不(bu)能(neng)察(cha)覺(jiao)到(dao)車(che)輪(lun)前(qian)轉(zhuan)的(de)主(zhu)要(yao)信(xin)息(xi)。另(ling)一(yi)種(zhong)有(you)意(yi)思(si)的(de)現(xian)象(xiang)是(shi)采(cai)樣(yang)率(lv)與(yu)車(che)輪(lun)轉(zhuan)速(su)嚴(yan)格(ge)相(xiang)等(deng)時(shi)，由(you)於(yu)標(biao)記(ji)始(shi)終(zhong)出(chu)現(xian)在(zai)車(che)輪(lun)的(de)相(xiang)同(tong)位(wei)置(zhi)

，所(suo)以(yi)數(shu)據(ju)幾(ji)乎(hu)沒(mei)有(you)提(ti)供(gong)有(you)用(yong)信(xin)息(xi)。在(zai)這(zhe)種(zhong)情(qing)況(kuang)下(xia)
，沒(mei)有(you)人(ren)能(neng)清(qing)楚(chu)車(che)輪(lun)在(zai)轉(zhuan)動(dong)還(hai)是(shi)靜(jing)止(zhi)。

現在轉入數學領域，假設車輪為單位圓，采用正弦和餘弦坐標。如果在餘弦值的正向和負向峰值采樣(180度錯相)，namejiumanzunaikuisitetiaojian，nenggouliyonglianggecaiyangshujudianzhonggouyuanshiyuxianzhi。suoyi，naikuisitejixianshizhonggouyuanshixinhaodeguanjian。dangzengjiadedianyuelaiyueduoshi，fuxianyuanshixinhaodenenglijiutigaole。

轉到頻域，圖2所示為采樣數據係統的頻率響應。注意，數據在采樣率的倍數處重複(原始信號的“鏡像”)；這是采樣數據係統的一種基本特征。圖2a中，滿足奈奎斯特條件，有用頻帶內沒有混疊現象。然而，在圖2b中
，由於有用頻帶內的最高頻率大於二分之一采樣率，不再滿足奈奎斯特條件。重疊的區域發生了混疊
；頻率為fT的信號也出現在fT\\\\\\\''處，與馬車車輪的混疊相似。


欠采樣

欠采樣是一種功能強大的工具，可有效用於所選應用。欠采樣允許ADC作為一個混頻器，能夠接收調製高頻載波信號並產生較低頻率的鏡像。這種方式下，就像下變頻器。另一種主要優點是允許ADC的采樣率低於奈奎斯特頻率
，一般具有較明顯的成本優勢。例如
，假設調製載波為10MHz，帶寬為100kHz(±50kHz，中心頻率為10MHz)。以4MHz進行欠采樣
，產生1階和與差項(f1+f2和f1-f2)
，分別為14MHz和6Mz
；2階項(2f1、2f2
、2f1+f2
、f1+2f2
、|2f1-f2|、|f1-2f2|)，分別為8MHz
、20MHz、18MHz
、2MHz
、24MHz和16MHz。出現在2MHz處的鏡像信號為有用信號。注意

，我們的原始信號在10MHz，通過對其進行數字化在2MHz產生了鏡像。現在，我們可以在數字域進行信號處理(濾波和混頻)
，恢複原始50kHz信xin號hao。該gai過guo程cheng無wu需xu大da幅fu的de模mo擬ni處chu理li，這zhe是shi其qi主zhu要yao優you勢shi之zhi一yi。由you於yu所suo有you處chu理li都dou在zai數shu字zi域yu完wan成cheng，如ru果guo需xu要yao對dui電dian路lu的de性xing能neng和he特te性xing進jin行xing更geng改gai，隻zhi需xu修xiu改gai軟ruan件jian即ji可ke。相xiang對dui而er言yan，對dui於yu模mo擬ni設she計ji，如ru果guo需xu要yao更geng改gai電dian路lu性xing能neng，需xu要yao改gai變bian電dian路lu硬ying件jian元yuan件jian和he布bu局ju，並bing且qie成cheng本ben相xiang當dang高gao。
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欠采樣的一項缺點是有用頻帶內可能出現有害信號，您不能將其與有用信號區分開。此外，欠采樣時，ADC輸入的頻率範圍往往非常寬。在上例中，即使采樣率為4MHz，ADC前端仍然必須采樣10MHz信號。相對而言，如果在ADC之前利用模擬混頻器將調製載波信號向下搬移到基帶
，那麼ADC的輸入帶寬隻需要為50kHz，而非4MHz，降低了ADC前端和輸入濾波要求。


過采樣

過采樣提供所謂的處理增益。在過采樣時，以較高采樣頻率獲得多出實際需要的采樣數量，然後對數據濾波，從而有效降低係統的噪底(假設噪聲為寬帶白噪聲)。這不同於平均
，後者是獲取很多采樣，噪聲被平均。可以這麼理解過采樣：如果輸入信號來自於掃描頻率的信號源，頻譜則可以分為多個範圍或“容器”，每(mei)個(ge)容(rong)器(qi)的(de)帶(dai)寬(kuan)固(gu)定(ding)。寬(kuan)帶(dai)噪(zao)聲(sheng)分(fen)散(san)在(zai)整(zheng)個(ge)有(you)用(yong)頻(pin)率(lv)範(fan)圍(wei)內(nei)，所(suo)以(yi)每(mei)個(ge)容(rong)器(qi)具(ju)有(you)特(te)定(ding)量(liang)的(de)噪(zao)聲(sheng)。現(xian)在(zai)
，如(ru)果(guo)提(ti)高(gao)采(cai)樣(yang)率(lv)，那(na)麼(me)頻(pin)率(lv)容(rong)器(qi)的(de)數(shu)量(liang)也(ye)增(zeng)多(duo)。在(zai)這(zhe)種(zhong)情(qing)況(kuang)下(xia)
，出(chu)現(xian)的(de)噪(zao)聲(sheng)量(liang)仍(reng)相(xiang)同(tong)，但(dan)我(wo)們(men)有(you)更(geng)多(duo)的(de)容(rong)器(qi)可(ke)供(gong)容(rong)納(na)噪(zao)聲(sheng)。然(ran)後(hou)我(wo)們(men)利(li)用(yong)濾(lv)波(bo)器(qi)濾(lv)除(chu)超(chao)出(chu)有(you)用(yong)頻(pin)帶(dai)的(de)噪(zao)聲(sheng)。結(jie)果(guo)就(jiu)是(shi)每(mei)個(ge)容(rong)器(qi)的(de)噪(zao)聲(sheng)減(jian)少(shao)，所(suo)以(yi)就(jiu)通(tong)過(guo)過(guo)采(cai)樣(yang)有(you)效(xiao)降(jiang)低(di)了(le)係(xi)統(tong)的(de)噪(zao)底(di)。

舉例說明，如果我們有一個2kspsADC(下式中使用1kHz奈奎斯特極限)和1kHz信號，ADC之後為1kHz數字濾波器，處理增益由下式給出：-10×log(1kHz/1kHz)=0dB。如果們將采樣率增大至10ksps，處理增益現在為-10×log(1kHz/5kHz)=7dB，或者說大約1位分辨率(1位大約相當於信噪比(SNR)提高6dB)。通過過采樣
，噪聲沒有減少
，而是分散在更寬的帶寬內；將部分噪聲置於有用帶寬範圍之外，效果就相當於減少了噪聲。這種噪聲改善基於以下公式：

SNR改善(dB)=10×LOGA/B，其中A等於噪聲，B等於過采樣噪聲。

表述這一過程的另一種方式是：過采樣降低了帶內RMS量化噪聲，係數為過采樣率的平方根。或者，如果噪聲降低二分之一，則相當於3dB有效處理增益。不要忘了，我們這裏僅討論了寬帶噪聲。過采樣不能簡單消除其它噪聲源和其他誤差。

抗混疊濾波器

有了以上背景知識後
，我們現在討論抗混疊濾波器。在選擇濾波器時
，目標是提供一個截止頻率
，能從ADC輸(shu)入(ru)中(zhong)消(xiao)除(chu)有(you)害(hai)信(xin)號(hao)或(huo)至(zhi)少(shao)將(jiang)其(qi)衰(shuai)減(jian)至(zhi)不(bu)對(dui)電(dian)路(lu)形(xing)成(cheng)負(fu)麵(mian)影(ying)響(xiang)。抗(kang)混(hun)疊(die)濾(lv)波(bo)器(qi)是(shi)滿(man)足(zu)這(zhe)一(yi)要(yao)求(qiu)的(de)低(di)通(tong)濾(lv)波(bo)器(qi)。如(ru)何(he)選(xuan)擇(ze)正(zheng)確(que)的(de)濾(lv)波(bo)器(qi)？需(xu)要(yao)考(kao)慮(lv)的(de)關(guan)鍵(jian)參(can)數(shu)是(shi)在(zai)通(tong)帶(dai)內(nei)的(de)衰(shuai)減(jian)量(liang)(或紋波)
、阻帶內的預期濾波器滾降
、過渡區域的陡度
，以及不同頻率通過濾波器時的相位關係(圖4a)。


理想濾波器具有“磚牆”響應(圖4b)，也就是說其過渡比是無限大的。然而

，在實際應用中不可能存在這種情況。滾降越陡，濾波器的“Q”或品質因子越高；Q因子越高

，濾波器的設計就越複雜。較高的Qyinzihuizaochenglvboqibuwendingyijizaixiangyingdeguaidianpinlvxiazizhen。xuanzelvboqideguanjianshilejieganraoxinhaodepinlvjiduiyingfuzhi。liru

，duiyushouji，shejizhezhidaolinjinxinhaodezuichagongzuotiaojianfuzhiheweizhi
，congeryouzhenduixingdijinxingsheji。bingbushisuoyouxinhaodounengzaipinyuyuce，shenzhiyouxieyizhiganraoxinhaotaida
，bunengzugoudishuaijian。danshi

，genjuhuanjingheyingyong，ninkekaolvyizhiganraohesheji
，zuidachengdujiangdisuijiganrao，quebaogongzuogengkekao。


已知有用信號頻率後，利用簡單的濾波程序確定所需的濾波器結構，以滿足通帶
、阻帶和過渡區域要求。在四種基本濾波器類型中，每種都有其各自的優勢(圖5)。

圖5.四種基本的濾波器類型

例如，巴特沃斯(Butterworth)濾波器的通帶區域最平坦
，意味著在相應頻率範圍內的衰減最小
；貝塞爾(Bessel)濾波器的滾降較平緩，但其主要優勢是線性相位響應
，意味著每種頻率成分在通過濾波器時的延時是相等的；由於群延遲定義為相位響應相對於頻率的偏差，所以線性相位響應通常指的是固定群延遲。切比雪夫(Chebyshev)濾波器的滾降較陡，但在通帶內紋波較大。橢圓(Elliptic)濾波器的滾降最陡。對於最簡單的抗混疊濾波器
，簡單的單極點無源RC濾波器往往是可以接受的。在其它情況下，有源濾波器(即使用運放)比較合適。有源濾波器的一項優勢是多階濾波器

，濾波器對外部元件值不太敏感，特別是濾波器的“Q”值。

kanghundielvboqitongchangbubiyangeduiyingguaidianpinlvdeweizhi，suoyishejishijuyouyidingyudi。liru
，ruguoninxuyaozuidapingtandu

，danzaitongdaineirengranyoutaidashuaijian，zhixujiangguaidianpinlvyiyuanjikejiejuewenti。ruguozudaishuaijiantaixiao，zeketigaolvboqidejidianshu。lingyizhongfanganshizailvbohoujiangxinhaofangda，tigaoxinhaoxiangduiyuyouhaixinhaodefuzhi。

Maxim具有多種低功耗
、低通濾波器可供選擇
，可用於抗混疊
；其中包括MAX7490(＄4.1371)通用開關電容濾波器

、MAX740x/MAX741x家族尺寸最小的低功耗低通開關電容濾波器
，以及MAX274(＄6.6953)/MAX275(＄1.3342)通用連續時間方式濾波器。Maxim也提供豐富的低功耗高精度運放
，適用於希望自己設計濾波器的用戶。

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